Устойчивость сжатых стержней

Данные для расчета сжатых стержней на устойчивость
коэффициенты приведения длины

P – сжимающая сила;
 – длина стержня;
i – радиус инерции сечения;
μ – коэффициент приведения длины, зависящий от условий закрепления стержня;
λ – гибкость стержня.
Если стержень в разных плоскостях имеет различные радиусы инерции или различные условия закрепления, то в расчетах используется наибольшее значение гибкости.

Условие устойчивости можно представить в виде:
условие устойчивости сжатого стержня

A – площадь сечения;
[σ] – основное допускаемое напряжение на сжатие;
φ – коэффициент снижения основного допускаемого напряжения (коэффициент продольного изгиба), зависящий от гибкости λ и материала стержня:

таблица коэффициентов снижения основного допускаемого напряжения (коэффициентов продольного изгиба) в зависимости от гибкости для различных материалов

В строительстве для сталей коэффициент продольного изгиба φ задается в зависимости от гибкости λ и расчетного сопротивления Ry (СНиП II-23-81*):

таблица коэффициентов продольного изгиба в зависимости от гибкости для сталей с различным расчетным сопротивлением

Если для материала нет справочных значений φ, или необходимо определить реальный запас устойчивости, то используется условие устойчивости в виде:

условие устойчивости по критическим напряжениям

nу — запас устойчивости;
Pкр — критическая сила;
[P] — допускаемое значение сжимающей силы;
σкр — критическое напряжение, которое для стержней малой гибкости равно пределу текучести σT, для стержней средней гибкости определяется по формуле Ясинского, для гибких стержней — по формуле Эйлера:

критическое напряжение

E – модуль упругости материала;
λ0 — максимальное значение гибкости, при котором допустимо не учитывать эффект потери устойчивости (достаточно простого расчета на сжатие);
λпр — минимальное значение гибкости, при котором применима формула Эйлера;
a, b — коэффициенты формулы Ясинского.
Для чугуна формула Ясинского имеет вид: σкр = a + 2.

коэффициенты формулы Ясинского для различных материалов

Для стержней средней и малой гибкости критическое напряжение можно (если, например, для материала отсутствуют справочные данные для формулы Ясинского) определить по параболическому закону:

критическое напряжение по параболическому закону для стержней малой и средней гибкости как альтернатива формуле Ясинского

σпц — предел пропорциональности;
a — коэффициент, определяемый из условия сопряжения с кривой Эйлера.

диаграмма критического напряжения в зависимости от гибкости для участков малой, средней и большой гибкости

Для хрупких материалов в формулы для определения критического напряжения вместо предела текучести σT подставляют предел прочности на сжатие σВ.